Fale materii - Zadania

O falach materii

Fale materii to zjawisko korpuskularno-falowe, gdzie cząstki (takie jak elektron czy proton) wykazują właściwości falowe, a ich długość fali jest zależna od ich pędu. Zgodnie z zasadą de Broglie'a, długość fali materii \(\lambda\) jest wyrażona wzorem:

\(\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}\)

gdzie:

\(h\) – stała Plancka (\(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J·s}\))
\(m\) – masa cząstki
\(v\) – prędkość cząstki
\(p = mv\) – pęd cząstki

Zadania

Zadanie 1: Oblicz długość fali materii

Dane: masa \(m = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}\), prędkość \(v = 1 \times 10^6 \, \text{m/s}\)

Polecenie: Oblicz długość fali materii \(\lambda\), korzystając z wzoru de Broglie'a:

\(\lambda = \frac{h}{mv}\)

Rozwiązanie:

\( \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 1 \times 10^6} = 7.27 \times 10^{-10} \, \text{m} = 0.73 \, \text{nm} \)

Zadanie 2: Oblicz długość fali materii

Dane: masa \(m = 1.67 \times 10^{-27} \, \text{kg}\), energia kinetyczna \(E_k = 1.6 \times 10^{-13} \, \text{J}\)

Polecenie: Oblicz długość fali materii \(\lambda\), korzystając z wzoru de Broglie'a:

\( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}} \)

Rozwiązanie:

\( p = \sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-13}} = 2.31 \times 10^{-20} \, \text{kg m/s} \)

\( \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.31 \times 10^{-20}} = 2.87 \times 10^{-14} \, \text{m} = 28.7 \, \text{nm} \)

Zadanie 3: Oblicz długość fali materii

Dane: masa \(m = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}\), ładunek \(q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\), napięcie przyspieszające \(U = 100 \, \text{V}\)

Polecenie: Oblicz długość fali materii \(\lambda\), korzystając z wzoru de Broglie'a:

\( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m E_k}} \)

Rozwiązanie:

\( E_k = qU = 1.6 \times 10^{-19} \times 100 = 1.6 \times 10^{-17} \, \text{J} \)

\( p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-17}} = 4.8 \times 10^{-24} \, \text{kg m/s} \)

\( \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4.8 \times 10^{-24}} = 1.38 \times 10^{-10} \, \text{m} = 0.138 \, \text{nm} \)

Zadanie 4: Oblicz długość fali materii

Dane: masa \(m = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}\), ładunek \(q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\), energia \(E = 3.2 \times 10^{-17} \, \text{J}\), odległość \(d = 2 \, \text{m}\)

Polecenie: Oblicz długość fali materii \(\lambda\), korzystając z wzoru de Broglie'a:

\( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m E}} \)

Rozwiązanie:

\( p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 3.2 \times 10^{-17}} = 7.52 \times 10^{-24} \, \text{kg m/s} \)

\( \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{7.52 \times 10^{-24}} = 8.82 \times 10^{-11} \, \text{m} = 0.088 \, \text{nm} \)

Zadanie 5: Oblicz długość fali materii

Dane: ładunek \(q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\), indukcja magnetyczna \(B = 1 \, \text{T}\), promień okręgu \(r = 0.5 \, \text{m}\)

Polecenie: Oblicz długość fali materii \(\lambda\), korzystając z wzoru:

\( p = q \cdot B \cdot r \)

\( \lambda = \frac{h}{p} \)

Rozwiązanie:

\( p = 1.6 \times 10^{-19} \times 1 \times 0.5 = 8.0 \times 10^{-20} \, \text{kg m/s} \)

\( \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{8.0 \times 10^{-20}} = 8.28 \times 10^{-15} \, \text{m} = 8.28 \text{fm}\)